Секрет НМТ – точно буде теорема Піфагора
Ми маємо 100 секретів для випускників, які хочуть здати НМТ на 200 балів.
Перший секрет – це Теорема Піфагора.
Щоб швидко зрозуміти цю теорему бажано виконати такі кроки:
Візуалізація через квадрат: Якщо ви хочете краще зрозуміти теорему Піфагора, спробуйте побудувати квадрат на кожній стороні прямокутного трикутника. Площа квадрата на гіпотенузі (найдовша сторона) буде рівною сумі площ квадратів на катетах (двох інших сторонах). Це не лише допомагає візуально, але й дозволяє краще засвоїти саму концепцію.
Застосування у реальному житті: Теорема Піфагора корисна для вимірювання відстаней, особливо коли вам треба визначити відстань між двома точками, що не лежать на прямій. Наприклад, якщо ви хочете дізнатися, скільки пішки потрібно пройти, щоб дістатися з однієї точки до іншої через дві прямі вулиці, ви можете використати теорему Піфагора.
Робота з цілими числами: Існують цілі числа, що задовольняють теорему Піфагора. Вони називаються Піфагоровими числами, і це дуже цікава тема для роздумів. Наприклад, 3, 4, 5 — це Піфагорові числа, оскільки
32+42=523^2 + 4^2 = 5^2
. Ви можете шукати інші такі числа або створювати їх.
Мінімізація обчислень: Коли ви стикаєтесь із задачами, де потрібно використовувати теорему Піфагора багато разів, спробуйте розглядати її для одного великого трикутника замість кількох малих. Це допоможе скоротити кількість обчислень і зробить вирішення задачі ефективнішим.
Використання в геометричних побудовах: Теорема Піфагора часто використовується в різних геометричних побудовах, зокрема при побудові правильних багатокутників, тріангуляції територій або навіть у розробці карт.
Пошук у випадку невідомих значень: Якщо одна зі сторін трикутника невідома, ви завжди можете застосувати теорему Піфагора для її знаходження, за умови, що у вас є дві інші сторони. Це робить її надзвичайно корисною для практичних завдань, де потрібно швидко знайти відсутнє значення.
Історія та застосування: Піфагор, можливо, не був першим, хто використовував цю теорему, але він був першим, хто довів її математично. Дізнайтеся більше про історію використання цієї теореми, як вона змінила математику та геометрію і як була застосована у стародавніх культурах для побудови храмів, споруд та навігації.
ЗАДАЧІ
Задача 1: Визначення відстані між двома точками на карті
На карті, де 1 см відповідає 1 км в реальності, дві точки A і B розташовані так, що відстань між ними по вертикалі 12 см, а по горизонталі 16 см. Знайдіть відстань між точками A і B в реальних умовах.
Рішення:
-
Потрібно використовувати теорему Піфагора для визначення відстані між точками A і B на карті.
-
Відстань між точками по вертикалі та горизонталі — це катети прямокутного трикутника.
-
Застосовуємо теорему Піфагора:
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
де a=12a = 12 см, b=16b = 16 см.
Підставляємо значення:
c2=122+162=144+256=400c^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 c=400=20 смc = \sqrt{400} = 20 \text{ см}
-
Оскільки на карті 1 см відповідає 1 км, відстань між точками A і B в реальності становить 20 км.
Задача 2: Визначення висоти рівнобедреного трикутника
Відомо, що рівнобедрений трикутник має основу довжиною 10 см і боки по 13 см. Знайдіть висоту цього трикутника.
Рішення:
-
Розглянемо трикутник і поділимо його на два рівні прямокутні трикутники, провівши висоту з вершини до основи.
-
В основі буде половина довжини, тобто 5 см.
-
Тепер ми маємо прямокутний трикутник з катетами 5 см (половина основи) і висотою hh, а гіпотенуза — 13 см (бокова сторона трикутника).
-
Використовуємо теорему Піфагора:
h2+52=132h^2 + 5^2 = 13^2 h2+25=169h^2 + 25 = 169 h2=169−25=144h^2 = 169 – 25 = 144 h=144=12 смh = \sqrt{144} = 12 \text{ см}
Отже, висота рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см.
Задача 3: Визначення довжини сторони квадрата
У трикутнику ABC, де сторони AB = 6 см, AC = 8 см, і кути між ними прямі, потрібно знайти довжину сторони квадрата, що розташований усередині цього трикутника так, що одна його сторона паралельна гіпотенузі трикутника.
Рішення:
-
Оскільки трикутник прямокутний, то за теоремою Піфагора гіпотенуза BC може бути знайдена так:
BC2=AB2+AC2=62+82=36+64=100BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 BC=100=10 смBC = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
-
Далі, для того, щоб знайти довжину сторони квадрата, можна застосувати формулу для квадрата, вписаного в прямокутний трикутник. Якщо одна зі сторін квадрата паралельна гіпотенузі, то довжина сторони квадрата ss обчислюється за формулою:
s=AB⋅ACAB+AC+BCs = \frac{AB \cdot AC}{AB + AC + BC}
Підставляємо значення:
s=6⋅86+8+10=4824=2 смs = \frac{6 \cdot 8}{6 + 8 + 10} = \frac{48}{24} = 2 \text{ см}
Отже, довжина сторони квадрата дорівнює 2 см.
